Voorbeelden van tegenintuïtief gedrag van compacte Hausdorff-ruimten

Abstract

Topologische ruimten kunnen, ondanks dat ze wellicht compacte Hausdorff-ruimten zijn, heel andere eigenschappen hebben dan compacte metrische ruimten. In dit verslag wordt deze bewering toegelicht aan de hand van zes voorbeelden. Deze voorbeelden zijn ingedeeld in drie hoofdstukken: meetkundige voorbeelden, de Cech-Stone compactificatie van de natuurlijke getallen en de Fedorchuk-Lijn.
Van de meetkundige voorbeelden tonen de Dubbele Cirkel en het Lexicografisch geordend vierkant aan dat een compacte Hausdorff-ruimte met een aftelbare lokale basis niet separabel hoeft te zijn. De laatste twee ruimten, de Dubbele Pijl en de Helly Ruimte, zijn voorbeelden van compacte Hausdorff-ruimten die weliswaar separabel zijn, maar wel een relatief groot gewicht hebben.
De Cech-Stone compactificatie heeft meerdere opvallende eigenschappen. Deze ruimte laat zien dat compacte Hausdorff-ruimten relatief groot kunnen zijn, de elementen geen aftelbare omgevingsbasis hoeven te hebben en geen convergente rij hoeven te bevatten. Tot slot wordt opgemerkt dat de Cech-Stone compactificatie wel een convergente rij bevat geïndiceerd door een overaftelbare verzameling.
De Fedorchuk-Lijn snijdt het gedrag van compacte Haudorff-ruimten in de dimensietheorie aan. Deze ruimte laat namelijk zien dat de verschillende definities van een dimensie niet noodzakelijk samenvallen als een separabele ruimte niet-metrizeerbaar is.